5730. Дана окружность и её хорда AB
. Для всех точек C
окружности, отличных от A
и B
рассматриваются параллелограммы ABCD
. Найдите геометрическое место: а) точек D
; б) центров параллелограммов ABCD
.
Ответ. а) Окружность без точки; б) окружность без двух точек.
Указание. Примените: а) параллельный перенос; б) гомотетию.
Решение. а) При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{BA}
вершины B
и C
параллелограмма ABCD
перейдут в вершины A
и D
соответственно, а данная окружность S
— в равную ей окружность S_{1}
, проходящую через точки A
, C
и D
. Следовательно, вершина D
каждого параллелограмма ABCD
лежит на окружности S_{1}
. Обратно, для каждой отличной от A
точки D
окружности S_{1}
на окружности S
найдётся такая точка C
, что четырёхугольник ABCD
— параллелограмм.
б) Поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой их пересечения пополам, точка M
пересечения диагоналей каждого параллелограмма ABCD
есть середина хорды AC
. Геометрическое место середин M
хорд AC
данной окружности (точка A
фиксирована, а точка C
— любая точка окружности, отличная от A
и B
) есть окружность, гомотетичная данной с центром гомотетии A
и коэффициентом \frac{1}{2}
, без точки A
и середины отрезка AB
.