5731. В равнобедренной трапеции ABCD
(BC\parallel AD
) окружность касается основания BC
, боковых сторон AB
и CD
и проходит через точку пересечения диагоналей AC
и BD
. Найдите радиус окружности, если AD:BC=9:7
, а площадь трапеции S=8
.
Ответ. \frac{7\sqrt[{4}]{{18}}}{16}
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения диагоналей трапеции, а окружность касается сторон AB
и BC
трапеции в точках K
и L
соответственно. Поскольку трапеция равнобедренная, L
— середина BC
и ML\perp BC
.
Обозначим BC=7a
, AD=9a
. Пусть прямая, проведённая через точку M
параллельно основаниям трапеции, пересекает боковые стороны AB
и CD
в точках P
и Q
соответственно. Из подобия треугольников APM
и ABC
находим, что
PM=BC\cdot\frac{AM}{AC}=BC\cdot\frac{AM}{AM+MC}=7a\cdot\frac{9a}{9a+7a}=\frac{63a}{16}.
Обозначим через r
искомый радиус окружности и продолжим LM
до пересечения с основанием AD
в точке N
. Тогда N
— середина AD
, LN
— высота трапеции, LM=2r
, а из подобия треугольников AMD
и CMB
находим, что
MN=LM\cdot\frac{AD}{BC}=2r\cdot\frac{9}{7}=\frac{18r}{7},
значит,
LN=LM+MN=2r+\frac{18r}{7}=\frac{32r}{7}.
По условию задачи S_{ABCD}=8
, или
\frac{AD+BC}{2}\cdot LN=8a\cdot\frac{32r}{7}=8,
откуда ar=\frac{7}{32}
.
Пусть O
— центр окружности. Тогда BO
и PO
— биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых BC
и PQ
и секущей BP
, значит, \angle BOP=90^{\circ}
, а так как OK
— высота прямоугольного треугольника BOP
, проведённая из вершины прямого угла,
r^{2}=OK^{2}=BK\cdot PK=BL\cdot PM=\frac{7a}{2}\cdot\frac{63a}{16}=\frac{7^{2}\cdot9a^{2}}{32},
откуда a=\frac{4\sqrt{2}r}{21}
. Подставив найденное a
в равенство ar=\frac{7}{32}
, находим, что
r=\frac{7\sqrt{3}}{8\sqrt[{4}]{{8}}}=\frac{7\sqrt[{4}]{{18}}}{16}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2002, билет 1, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 02-1-4, с. 405