5735. Один из углов треугольника равен \frac{3\pi}{4}
, радиус вписанной в него окружности равен 4, а периметр треугольника равен 16(6+\sqrt{2})
. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ. 26\sqrt{2}+4
.
Решение. Пусть вписанная окружность с центром O
касается сторон BC
, AB
и AC
треугольника ABC
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно, \angle BAC=\frac{3\pi}{4}
. Обозначим BA_{1}=BC_{1}=x
, CA_{1}=CB_{1}=y
. Тогда BC=x+y
.
Из прямоугольного треугольника AOB_{1}
находим, что
AB_{1}=\frac{OB_{1}}{\tg\frac{1}{2}\angle BAC}=\frac{4}{\tg\frac{3\pi}{8}}.
Обозначим \tg\frac{3\pi}{8}=t
и, учитывая, что \tg\frac{3\pi}{4}=-1
, воспользуемся формулой \tg\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}
. Получим уравнение -1=\frac{2t}{1-t^{2}}
. Поскольку \frac{3\pi}{4}\lt\frac{\pi}{2}
, условию задачи удовлетворяет только положительный корень этого уравнения: t=1+\sqrt{2}
. Тогда
AC_{1}=AB_{1}=\frac{4}{\tg\frac{3\pi}{8}}=\frac{4}{1+\sqrt{2}}=4(\sqrt{2}-1).
По условию задачи 2x+2y+8(\sqrt{2}-1)=16(6+\sqrt{2})
, откуда находим, что x+y=4\sqrt{2}+52
.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. По теореме синусов
R=\frac{BC}{2\sin\angle BAC}=\frac{x+y}{2\sin\frac{3\pi}{4}}=\frac{4\sqrt{2}+52}{\sqrt{2}}=4+26\sqrt{2}.
Примечание. Для нахождения x+y
можно воспользоваться формулой AB_{1}=p-BC
, где p
— полупериметр треугольника ABC
.