5739. Окружность с центром на стороне AB
равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
) касается отрезка AC
в точке F
, пересекает отрезок BC
в точке G
, проходит через точку B
и пересекает отрезок AB
в точке E
, причём AE=a
, \angle BFG=\gamma
. Найдите радиус окружности.
Ответ. \frac{a\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\gamma}{2}\right)}{1-\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\gamma}{2}\right)}
.
Решение. Пусть R
— радиус данной окружности, O
— её центр. Вписанные в данную окружность углы BEG
и BFG
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle BEG=\angle BFG=\gamma
. Вписанный угол BGE
опирается на диаметр BE
, поэтому \angle BGE=\frac{\pi}{2}
. Из прямоугольного треугольника BGE
находим, что \angle EBG=\frac{\pi}{2}-\angle BEG=\frac{\pi}{2}-\gamma
. Тогда
\angle BAC=\frac{\pi-\angle ABC}{2}=\frac{\pi-\left(\frac{\pi}{2}-\gamma\right)}{2}=\frac{\pi}{4}+\frac{\gamma}{2}
как угол при основании равнобедренного треугольника ABC
.
Поскольку OF\perp AC
(как радиус окружности, проведённый в точку касания), треугольник AOF
— прямоугольный, поэтому
OF=AO\sin\angle OAF=(AE+EO)\sin\angle BAC,
или
R=(a+R)\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\gamma}{2}\right).
Из этого уравнения находим, что
R=\frac{a\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\gamma}{2}\right)}{1-\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\gamma}{2}\right)}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2002, билет 9, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 02-9-3, с. 411