5743. Через точку A
проведены две прямые: одна из них касается окружности в точке B
, а другая пересекает эту окружность в точках C
и D
так, что D
лежит на отрезке AC
. Найдите AB
, CD
и радиус окружности, если BC=4
, BD=3
, \angle BAC=\arccos\frac{1}{3}
.
Ответ. AB=\frac{12}{\sqrt{17}}
, CD=\frac{7}{\sqrt{17}}
, R=\frac{3\sqrt{17}}{4\sqrt{2}}
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, AB=x
. По условию задачи \cos\alpha=\frac{1}{3}
. Тогда \sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle ABD=\angle BCD
, поэтому треугольник ABD
подобен треугольнику ACB
по двум углам, причём коэффициент подобия равен \frac{BD}{BC}=\frac{3}{4}
. Значит,
AD=\frac{3}{4}AB=\frac{3}{4}x,~AC=\frac{4}{3}AB=\frac{4}{3}x.
По теореме косинусов
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\alpha,
или
16=x^{2}+\frac{16}{9}x^{2}-2\cdot x\cdot\frac{4}{3}x\cdot\frac{1}{3}=\frac{17}{9}x^{2},
откуда AB=x=\frac{12}{\sqrt{17}}
. Тогда
CD=AC-AD=\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}x=\frac{7}{12}x=\frac{7}{\sqrt{17}}.
По теореме синусов \frac{BD}{\sin\angle BAD}=\frac{AB}{\sin\angle ADB}
, поэтому
\sin\angle BDC=\sin\angle ADB=\frac{AB\sin\alpha}{BD}=\frac{x\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}}{3}=x\cdot\frac{2\sqrt{2}}{9}=\frac{12}{\sqrt{17}}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{9}=\frac{8\sqrt{2}}{3\sqrt{17}}.
Если R
— радиус окружности, то
R=\frac{BC}{2\sin\angle BDC}=\frac{4}{2\cdot\frac{8\sqrt{2}}{3\sqrt{17}}}=\frac{3\sqrt{17}}{4\sqrt{2}}.