5747. В треугольнике ABC
таком, что AB=BC=4
и AC=2
, проведены биссектриса AA_{1}
, медиана BB_{1}
и высота CC_{1}
. Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых: 1) AC
, AA_{1}
и CC_{1}
; 2) AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
.
Ответ. 1) \frac{\sqrt{15}}{10}
; 2) \frac{\sqrt{15}}{30}
.
Решение. Пусть прямые AA_{1}
и BB_{1}
пересекаются в точке K
, прямые BB_{1}
и CC_{1}
— в точке L
, прямые AA_{1}
и CC_{1}
— в точке M
. Обозначим \angle BAA_{1}=\angle CAA_{1}=\alpha
. Заметим, что 2\alpha\lt\frac{\pi}{2}
(угол при основании равнобедренного треугольника).
Медиана BB_{1}
равнобедренного треугольника ABC
является его высотой. Из прямоугольного треугольника ABB_{1}
находим, что \cos2\alpha=\frac{AB_{1}}{AB}=\frac{1}{4}
. Тогда
\sin2\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}2\alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4},~\ctg2\alpha=\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}=\frac{1}{\sqrt{15}},
\cos\alpha=\sqrt{\frac{1+\cos2\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{5}{8}},
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB\sin2\alpha=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}=\sqrt{15}.
Из прямоугольного треугольника ACC_{1}
находим, что
AC_{1}=AC\cos2\alpha=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
Тогда BC_{1}=AB-AC_{1}=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}
, \frac{AC_{1}}{AB}=\frac{1}{8}
, а так как AM
— биссектриса треугольника ACC_{1}
, то
\frac{CM}{MC_{1}}=\frac{AC}{AC_{1}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4.
Следовательно,
S_{\triangle AMC}=\frac{CM}{CC_{1}}S_{\triangle ACC_{1}}=\frac{CM}{CC_{1}}\cdot\frac{AC_{1}}{AB}S_{\triangle ABC}=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{8}\cdot\sqrt{15}=\frac{\sqrt{15}}{10}.
Из прямоугольных треугольников AKB_{1}
, AMC_{1}
и CLB_{1}
находим, что
AK=\frac{AB_{1}}{\cos\alpha}=\frac{1}{\sqrt{\frac{5}{8}}}=\sqrt{\frac{8}{5}},~KB_{1}=AK\sin\alpha=\sqrt{\frac{8}{5}}\cdot\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{3}{5}},
AM=\frac{AC_{1}}{\cos\alpha}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{8}}}=\sqrt{\frac{2}{5}},~LB_{1}=CB_{1}\tg\angle ACC_{1}=1\cdot\tg(90^{\circ}-2\alpha)=\ctg2\alpha=\frac{1}{\sqrt{15}},
S_{\triangle AKB_{1}}=\frac{1}{2}AB_{1}\cdot KB_{1}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{5}}
Тогда
KM=AK-AM=\sqrt{\frac{8}{5}}-\sqrt{\frac{2}{5}}=\sqrt{\frac{2}{5}},~KL=KB_{1}-LB_{1}=\sqrt{\frac{3}{5}}-\frac{1}{\sqrt{15}}=\frac{2}{\sqrt{15}}.
Следовательно,
S_{\triangle KLM}=\frac{KM}{AK}\cdot\frac{KL}{KB_{1}}S_{\triangle AKB_{1}}=\frac{\sqrt{\frac{2}{5}}}{\sqrt{\frac{8}{5}}}\cdot\frac{\frac{2}{\sqrt{15}}}{\sqrt{\frac{3}{5}}}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{15}}{30}.