5751. Окружность C_{1}
радиуса 2\sqrt{6}
с центром O_{1}
и окружность C_{2}
радиуса \sqrt{6}
с центром O_{2}
расположены так, что O_{1}O_{2}=\sqrt{70}
. Прямая l_{1}
касается окружностей в точках A_{1}
и A_{2}
, а прямая l_{2}
— в точках B_{1}
и B_{2}
. Окружности C_{1}
и C_{2}
лежат по одну сторону от прямой l_{1}
и по разные стороны от прямой l_{2}
, A_{1}\in C_{1}
, B_{1}\in C_{1}
, A_{2}\in C_{2}
, B_{2}\in C_{2}
, точки A_{1}
и B_{1}
лежат по разные стороны относительно прямой O_{1}O_{2}
. Через точку B_{2}
проведена прямая l_{3}
, перпендикулярная прямой l_{2}
. Прямая l_{1}
пересекает прямую l_{2}
в точке A
, а прямую l_{3}
— в точке B
. Найдите A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и стороны треугольника ABB_{2}
.
Ответ. A_{1}A_{2}=8
, B_{1}B_{2}=4
, AB_{2}=2
, AB=10
, BB_{2}=4\sqrt{6}
.
Решение. Пусть E
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O_{2}
на радиус O_{1}A_{1}
. Тогда EA_{1}A_{2}O_{2}
— прямоугольник,
EO_{1}=O_{1}A_{1}-A_{1}E=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}.
Из прямоугольного треугольника O_{1}EO_{2}
находим, что
O_{2}E=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}E^{2}}=\sqrt{70-6}=8.
Следовательно, A_{1}A_{2}=O_{2}E=8
.
Пусть F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O_{2}
на продолжение радиуса O_{1}B_{1}
. Тогда FB_{1}B_{2}O_{2}
— прямоугольник,
FO_{1}=O_{1}B_{1}+B_{1}F=2\sqrt{6}+\sqrt{6}=3\sqrt{6}.
Из прямоугольного треугольника O_{1}FO_{2}
находим, что
O_{2}F=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}F^{2}}=\sqrt{70-54}=4.
Следовательно, B_{1}B_{2}=O_{2}F=4
.
Поскольку O_{2}B_{2}\perp l_{2}
(как радиус, проведённый в точку касания), а прямая l_{3}
перпендикулярна l_{2}
и проходит через точку B_{2}
, точки O_{2}
, B_{2}
и B
лежат на одной прямой. Обозначим BB_{2}=a
, AB_{2}=b
— катеты прямоугольного треугольника AB_{2}B
, AB=c
— гипотенуза. Из равенства отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, следует, что
AA_{2}=AB_{2}=b,~AA_{1}=AB_{1}=AB_{2}+B_{1}B_{2}=b+4,~AA_{1}=AB_{1}=A_{1}A_{2}-AA_{2}=8-b.
Из уравнения b+4=8-b
находим, что b=2
.
Прямоугольные треугольники ABB_{2}
и O_{2}BA_{2}
подобны по двум углам (угол при вершине B
— общий), причём коэффициент подобия равен \frac{AB_{2}}{O_{2}A_{2}}=\frac{b}{O_{2}A_{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
. Тогда a=BB_{2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}A_{2}B=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}(c+2)
. Из системы
\syst{a^{2}+2^{2}=c^{2}\\a=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}(c+2)\\}
находим, что c=10
, a=4\sqrt{6}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2001, билет 9, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 01-9-3, с. 401