5752. Отрезки AB
и CD
длины 1 пересекаются в точке O
, причём \angle AOC=60^{\circ}
. Докажите, что AC+BD\geqslant1
.
Решение. Построим отрезок CB_{1}
так, что четырёхугольник ABB_{1}C
— параллелограмм. Тогда AC=BB_{1}
. Из треугольника BB_{1}D
получаем, что BB_{1}+BD\geqslant B_{1}D
и, следовательно, AC+BD\geqslant B_{1}D
. Остаётся заметить, что треугольник CB_{1}D
равносторонний (CD=CB_{1}=1
, а \angle B_{1}CD=\angle AOC=60^{\circ}
), и, значит, B_{1}D=1
. Таким образом, получаем AC+BD_{1}\geqslant1
.