5755. Через центр O
окружности \Omega
, описанной около треугольника ABC
, проведена прямая, параллельная BC
и пересекающая стороны AB
и AC
в точках B_{1}
и C_{1}
соответственно. Окружность \omega
проходит через точки B_{1}
и C_{1}
и касается \Omega
в точке K
. Найдите угол между прямыми AK
и BC
. Найдите площадь треугольника ABC
и радиус окружности \Omega
, если B_{1}C_{1}=6
, AK=6
, а расстояние между прямыми BC
и B_{1}C_{1}
равно 2.
Ответ. AK\perp BC
; S=25
, R=\sqrt{29}
.
Решение. При гомотетии с центром A
, переводящей точку B
в B_{1}
, треугольник ABC
перейдёт в треугольник AB_{1}C_{1}
, а описанная около него окружность \Omega
— в описанную окружность \omega_{1}
треугольника AB_{1}C_{1}
, касающуюся изнутри окружности \Omega
в точке A
.
Известно, что окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через её центр. При симметрии относительно прямой B_{1}C_{1}
точка A
перейдёт в точку A_{1}
, лежащую на окружности \Omega
, а окружность \omega_{1}
— в окружность, проходящую через точки B_{1}
и C_{1}
и касающуюся окружности \Omega
в точке A_{1}
, т. е. в окружность \omega
. Значит, точка A_{1}
совпадает с точкой K
, а так как AA_{1}\perp B_{1}C_{1}
, то AK\perp BC
.
Пусть H_{1}
и H
— точки пересечения прямой AK
с B_{1}C_{1}
и BC
соответственно. Тогда AH_{1}=\frac{1}{2}AK=3
и AH_{1}\perp B_{1}C_{1}
, значит,
S_{\triangle AB_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}B_{1}C_{1}\cdot AH_{1}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot3=9.
Треугольник ABC
подобен треугольнику AB_{1}C_{1}
с коэффициентом \frac{AH}{AH_{1}}=\frac{AH_{1}+H_{1}}{AM}=\frac{3+2}{3}=\frac{5}{3}
, поэтому
S_{\triangle ABC}=\left(\frac{5}{3}\right)^{2}\cdot S_{\triangle AB_{1}C_{1}}=\frac{25}{9}\cdot9=25.
Пусть E
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на BC
. Тогда E
— середина BC
, OE\perp BC
, OE=HH_{1}=2
, а так как BC=\frac{5}{3}B_{1}C_{1}=\frac{5}{3}\cdot6=10
, то
R=OB=\sqrt{OE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2005, билет 1, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 05-1-4, с. 436