5780. В прямоугольном треугольнике ABC
из вершины прямого угла C
проведена медиана CD
. В треугольник ACD
вписана окружность, а около треугольника BCD
описана окружность. Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если BC=3
, а радиус описанной около треугольника ABC
окружности равен \frac{5}{2}
.
Ответ. \frac{85}{48}
.
Решение. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, поэтому AB=2\cdot\frac{5}{2}=5
. По теореме Пифагора
AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{25-9}=4.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Тогда
\sin\alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5},~\cos\alpha=\frac{4}{5},~\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25},~\sin\beta=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}.
Пусть O_{1}
— центр вписанной окружности треугольника ACD
, M
— точка её касания со стороной AB
, O_{2}
— центр описанной окружности треугольника BCD
. Тогда O_{1}M
— радиус первой окружности, DO_{2}
— радиус второй.
Угол BDC
— внешний угол равнобедренного треугольника ADC
(AD=CD=\frac{5}{2}
), поэтому \angle BDC=2\alpha
. Аналогично, \angle ADC=2\beta
, а так как DO_{1}
— биссектриса этого угла, то \angle MDO_{1}=\beta
.
По теореме синусов
DO_{2}=\frac{BC}{2\sin2\alpha}=\frac{3}{2\cdot\frac{24}{25}}=\frac{25}{16}.
Радиус вписанной окружности треугольника равен отношению площади треугольника к его полупериметру, поэтому
O_{1}M=\frac{2S_{\triangle ADC}}{AC+AD+CD}=\frac{S_{\triangle ABC}}{AC+AD+CD}=\frac{\frac{1}{2}\cdot3\cdot4}{4+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3},
Из прямоугольного треугольника MDO_{1}
находим, что
DO_{1}=\frac{O_{1}M}{\sin\beta}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}=\frac{5}{6}.
Поскольку \angle O_{1}DO_{2}=90^{\circ}
как угол между биссектрисами смежных углов,
O_{1}O_{2}=\sqrt{DO_{1}^{2}+DO_{2}^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}+\left(\frac{25}{16}\right)^{2}}=\frac{85}{48}.