5783. Сторона ромба ABCD
равна 6. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABC
и BCD
, равно 8. Найдите радиусы этих окружностей.
Ответ. \sqrt{10}
, 3\sqrt{10}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, описанных около треугольников ABC
и BDC
соответственно, R_{1}
и R_{2}
— их радиусы. Предположим, что \angle BCD\geqslant90^{\circ}
. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде и проходит через её середину, т. е. прямая O_{1}O_{2}
пересекает сторону BC
в её середине M
. Обозначим \angle ACB=\angle BO_{1}M=\alpha
.
Из прямоугольных треугольников CO_{2}M
и BO_{1}M
находим, что
O_{2}M=CM\tg\alpha=3\tg\alpha,~O_{1}M=BM\ctg\alpha=3\ctg\alpha.
По условию задачи O_{2}M-O_{1}M=8
, или 3\tg\alpha-3\ctg\alpha=8
. Из этого уравнения находим, что \tg\alpha=3
. Тогда
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{10}},~\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}.
Из тех же прямоугольных треугольников находим, что
R_{1}=O_{1}B=\frac{BM}{\sin\alpha}=\frac{3}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=\sqrt{10},
R_{2}=O_{2}C=\frac{CM}{\cos\alpha}=\frac{3}{\frac{1}{\sqrt{10}}}=3\sqrt{10}.
Аналогично для случая \angle BCD\lt90^{\circ}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1998, билет 5, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 98-5-3, с. 377