5795. Окружность с центром на стороне AC
равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
) касается сторон AB
и BC
. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC
равна 25, а отношение высоты BD
к стороне AC
равно \frac{3}{8}
.
Ответ. 2\sqrt{3}
.
Решение. Обозначим AD=DC=x
, BD=y
. Из условия задачи следует, что xy=25
и \frac{y}{x}=\frac{3}{4}
, откуда находим, что x=\frac{10}{\sqrt{3}}
.
Обозначим \angle BAC=\angle ACB=\alpha
. Из прямоугольного треугольника ABD
находим, что
\tg\alpha=\frac{BD}{AD}=\frac{y}{x}=\frac{3}{4}.
Тогда
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\frac{4}{5},~AB=BC=\frac{CD}{\cos\alpha}=\frac{x}{\cos\alpha}=\frac{\frac{10}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{5}}=\frac{25}{2\sqrt{3}}.
Пусть M
и N
— точки касания данной окружности с боковыми сторонами AB
и AC
треугольника ABC
, r
— радиус окружности. Тогда DM
и DN
— высоты треугольников ABD
и CBD
, DM=DN=r
, а
25=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle CBD}=\frac{1}{2}AB\cdot DM+\frac{1}{2}BC\cdot DN=AB\cdot DM=\frac{25r}{2\sqrt{3}}.
Следовательно,
r=\frac{25\cdot2\sqrt{3}}{25}=2\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1996, билет 9, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 96-9-1, с. 362