5796. Центр окружности, касающейся катетов AC
и BC
прямоугольного треугольника ABC
лежит на гипотенузе AB
. Найдите радиус окружности, если он в шесть раз меньше суммы катетов, а площадь треугольника ABC
равна 27.
Ответ. 3.
Решение. Пусть O
— центр окружности, M
и N
— точки её касания с катетами AC
и BC
соответственно. Тогда OM
и ON
— высоты треугольников AOC
и BOC
. Обозначим BC=a
, AC=b
, OM=ON=r
. По условию задачи a+b=6r
. Тогда
27=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br=\frac{1}{2}(a+b)r=3r^{2},
откуда находим, что
r^{2}=\frac{27}{3}=9,~r=3.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1996, билет 10, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 96-10-1, с. 362