5797. Окружность с центром на стороне
AC
равнобедренного треугольника
ABC
(
AB=BC
) касается сторон
AB
и
BC
, а сторону
AC
делит на три равные части. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника
ABC
равна
9\sqrt{2}
.
Ответ. 2.
Решение. Пусть окружность радиуса
r
с центром
O
на основании
AC
равнобедренного треугольника
ABC
касается боковых сторон
AB
и
AC
в точках
M
и
N
соответственно и пересекает основание
AC
в точках
P
и
Q
, причём
AP=PQ=QC
. Тогда
OM
и
ON
— высоты треугольников
AOB
и
COB
,
AP=PQ=2r
,
AO=3r
.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
AOM
находим, что
AM=\sqrt{AO^{2}-OM^{2}}=\sqrt{9r^{2}-r^{2}}=2r\sqrt{2}.

Тогда
MB=\frac{OM^{2}}{AM}=\frac{r^{2}}{2r\sqrt{2}}=\frac{r\sqrt{2}}{4},~AB=AM+MB=2r\sqrt{2}+\frac{r\sqrt{2}}{4}=\frac{9r\sqrt{2}}{4},

9\sqrt{2}=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle COB}=\frac{1}{2}AB\cdot OM+\frac{1}{2}BC\cdot ON=AB\cdot OM=\frac{9r\sqrt{2}}{4}\cdot r=\frac{9r^{2}\sqrt{2}}{4}.

Откуда находим, что
r^{2}=4
. Следовательно,
r=2
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1996, билет 11, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 96-11-1, с. 363