5797. Окружность с центром на стороне AC
равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
) касается сторон AB
и BC
, а сторону AC
делит на три равные части. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC
равна 9\sqrt{2}
.
Ответ. 2.
Решение. Пусть окружность радиуса r
с центром O
на основании AC
равнобедренного треугольника ABC
касается боковых сторон AB
и AC
в точках M
и N
соответственно и пересекает основание AC
в точках P
и Q
, причём AP=PQ=QC
. Тогда OM
и ON
— высоты треугольников AOB
и COB
, AP=PQ=2r
, AO=3r
.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOM
находим, что
AM=\sqrt{AO^{2}-OM^{2}}=\sqrt{9r^{2}-r^{2}}=2r\sqrt{2}.
Тогда
MB=\frac{OM^{2}}{AM}=\frac{r^{2}}{2r\sqrt{2}}=\frac{r\sqrt{2}}{4},~AB=AM+MB=2r\sqrt{2}+\frac{r\sqrt{2}}{4}=\frac{9r\sqrt{2}}{4},
9\sqrt{2}=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle COB}=\frac{1}{2}AB\cdot OM+\frac{1}{2}BC\cdot ON=AB\cdot OM=\frac{9r\sqrt{2}}{4}\cdot r=\frac{9r^{2}\sqrt{2}}{4}.
Откуда находим, что r^{2}=4
. Следовательно, r=2
.