5799. В трапеции ABCD
сторона AB
перпендикулярна основаниям AD
и BC
. Окружность касается стороны AB
в точке K
, лежащей между точками A
и B
, имеет с отрезком BC
единственную общую точку C
, проходит через точку D
и пересекает отрезок AD
в точке E
, отличной от точки D
. Найдите расстояние от точки K
до прямой CD
, если AD=48
, BC=12
.
Ответ. 24.
Решение. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке P
, а H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки K
на прямую CD
. Обозначим \angle APD=\alpha
.
Из прямоугольных треугольников BCP
, HKP
и APD
находим,
\sin\alpha=\frac{BC}{PC},~\sin\alpha=\frac{KH}{KP},~\sin\alpha=\frac{AD}{PD}.
Перемножая почленно равенства \frac{KH}{KP}=\frac{BC}{PC}
и \frac{KH}{KP}=\frac{AD}{PD}
, получим, что \frac{KH^{2}}{KP^{2}}=\frac{BC\cdot AD}{PC\cdot PD}
, а так как KP^{2}=PC\cdot PD
(по теореме о касательной и секущей), то
KH^{2}=BC\cdot AD=12\cdot48=3\cdot4\cdot16\cdot3=3^{2}\cdot8^{2}=24^{2}.
Следовательно, KH=24
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1997, билет 1, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 97-1-3, с. 365