5800. Окружность касается сторон AC
и BC
треугольника ABC
в точках A
и B
соответственно. На дуге этой окружности, лежащей внутри треугольника, расположена точка K
так, что расстояния от неё до сторон AC
и BC
равны 6 и 24 соответственно. Найдите расстояние от точки K
до стороны AB
.
Ответ. 12.
Решение. Пусть M
, H
и N
— основания перпендикуляров, опущенных из точки K
на AC
, AB
и BC
соответственно. Обозначим \angle KMH=\alpha
.
Из точек M
и H
отрезок AK
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AK
. Вписанные в эту окружность углы KAH
и KMH
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle KAH=\angle KMH=\alpha
. Из теоремы об угле между касательной и хордой \angle KBN=\angle KAB=\angle KAH=\alpha
.
Из точек N
и H
отрезок BK
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BK
. Вписанные в эту окружность углы KHN
и KBN
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle KHN=\angle KBN=\alpha
.
Таким образом, угол KMH
треугольника KMH
равен углу KHN
треугольника KHN
. Аналогично докажем, что \angle KHM=\angle KNH
, значит, треугольники KMH
и KHN
подобны по двум углам. Следовательно, \frac{KH}{KN}=\frac{KM}{KH}
, откуда находим, что
KH^{2}=KN\cdot KM=6\cdot24=6^{2}\cdot2^{2}=12^{2},
а KN=12
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1997, № 3, билет 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 97-3-2, с. 366