5803. Окружность с центром на диагонали AC
трапеции ABCD
(BC\parallel AD
) проходит через вершины A
и B
, касается стороны CD
в точке C
и пересекает основание AD
в точке E
. Найдите площадь трапеции ABCD
, если CD=6\sqrt{13}
, AE=8
.
Ответ. 204.
Решение. Точки B
и E
лежат на окружности с диаметром AC
, поэтому \angle BAE=\angle ABC=\angle AEC=90^{\circ}
и ABCE
— прямоугольник; AC
— диаметр окружности, касающейся прямой CD
в точке C
, поэтому \angle ACD=90^{\circ}
. Значит, CE
— высота прямоугольного треугольника ACD
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому CD^{2}=DE\cdot AD
, или 468=DE(DE+8)
, откуда находим, что DE=18
. Тогда
AD=18+8=26,~CE=\sqrt{AE\cdot DE}=\sqrt{8\cdot18}=12.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CE=\frac{AD+AE}{2}\cdot CE=\frac{26+8}{2}\cdot12=204.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2003, билет 1, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 03-1-1, с. 415