5807. В трапеции ABCD
с меньшим основанием BC
и площадью, равной 2, прямые BC
и AD
касаются окружности диаметром \sqrt{2}
в точках B
и D
соответственно. Боковые стороны трапеции AB
и CD
пересекают окружность в точках M
и N
соответственно. Длина MN
равна 1. Найдите величину угла MBN
и длину основания AD
.
Ответ. \frac{3\pi}{4}
, \sqrt{6}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности. Тогда OM\perp BC
и OD\perp AD
, а так как BC\parallel AD
, то точки B
, O
и D
лежат на одной прямой, поэтому BD
— диаметр окружности.
Обозначим, \angle CBN=\alpha
, \angle ABD=\beta
. В прямоугольных треугольниках BCD
и DAB
катет BD
— общий, а катет BC
треугольника BCD
по условию задачи меньше катета AD
треугольника DAB
, поэтому \angle BDC\lt\angle ABD
, т. е. \alpha\lt\beta
. Точка N
лежит на окружности с диаметром BD
, поэтому \angle BND=90^{\circ}
, значит, \angle DBN=90^{\circ}-\alpha
. Следовательно,
\angle MBN=\angle ABD+\angle DBN=\beta+(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}+(\beta-\alpha)\gt90^{\circ}.
По теореме синусов \sin\angle MBN=\frac{MN}{BD}=\frac{1}{\sqrt{2}}
, а так как \angle MBN\gt90^{\circ}
, то \angle MBN=135^{\circ}
.
Обозначим BC=x
, AD=y
. По условию задачи S_{ABCD}=2
, или \frac{BC+AD}{2}\cdot BD=2
, \frac{x+y}{2}\cdot\sqrt{2}=2
, откуда находим, что x+y=2\sqrt{2}
.
Пусть K
— точка на продолжении основания BC
за точку B
. Тогда
\angle BAD=\angle ABK=180^{\circ}-\angle MBN-\angle CBN=180^{\circ}-135^{\circ}-\alpha=45^{\circ}-\alpha.
Из прямоугольных треугольников BCD
и DAB
находим, что
\tg\alpha=\frac{BC}{BD}=\frac{2\sqrt{2}-y}{\sqrt{2}},~\tg(45^{\circ}-\alpha)=\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{y},
а так как
\tg(45^{\circ}-\alpha)=\frac{\tg45^{\circ}-\tg\alpha}{1+\tg45^{\circ}\tg\alpha}=\frac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha}=\frac{1-\frac{2\sqrt{2}-y}{\sqrt{2}}}{1+\frac{2\sqrt{2}-y}{\sqrt{2}}}=\frac{y-\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-y},
то из уравнения \frac{y-\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-y}=\frac{\sqrt{2}}{y}
, находим, что y=\sqrt{6}
. Следовательно, BC=y=\sqrt{6}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2003, билет 5, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 03-5-4, с. 418