5820. Окружность с центром O
проходит через вершину B
ромба ABCD
и касается лучей CB
и CD
. Найдите площадь ромба, если DO=\frac{3}{4}
, OC=\frac{5}{4}
.
Ответ. \frac{24}{25}
.
Решение. Окружность касается прямой BC
в точке B
, значит её центр лежит на перпендикуляре к BC
, проходящем через точку B
. С другой стороны, центр окружности, вписанной в угол BCD
лежит на биссектрисе этого угла, т. е. на прямой AC
. Значит, точка O
— пересечение этих прямых.
Из прямоугольного треугольника OBC
находим, что
BC=\sqrt{OC^{2}-OB^{2}}=\sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}=1.
Обозначим \angle OCD=\angle OCB=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\frac{OB}{OC}=\frac{OD}{OC}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}=\frac{3}{5},~\cos\alpha=\frac{4}{5},~\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}.
Следовательно,
S_{ABCD}=2S_{\triangle BCD}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD\sin2\alpha=2\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\frac{24}{25}=\frac{24}{25}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1995, билет 2, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 95-2-1, с. 347