5823. Через середину гипотенузы AC
прямоугольного треугольника ABC
проведена прямая, пересекающая катет BC
в точке D
, а продолжение катета AB
за точку A
— в точке E
. Найдите площадь треугольника ABC
, если CD=1
, AE=2
, \angle CAB=\arccos\frac{3}{5}
.
Ответ. \frac{96}{25}
.
Решение. Пусть K
— середина гипотенузы AC
. Обозначим AK=KC=x
, \angle BAC=\alpha
. Через точку D
параллельной AB
проведём прямую до пересечения с отрезком AC
в точке P
. Тогда
\angle CPD=\angle BAC=\alpha,~CP=\frac{CD}{\cos\alpha}=\frac{1}{\frac{4}{5}}=\frac{5}{4},~DP=\frac{3}{4}.
Треугольник KPD
подобен треугольнику KAE
с коэффициентом \frac{DP}{AE}=\frac{\frac{3}{4}}{2}=\frac{3}{8}
. Поэтому \frac{PK}{AK}=\frac{3}{8}
, или \frac{x-\frac{5}{4}}{x}=\frac{3}{8}
, откуда x=2
, а AC=2x=4
.
Из прямоугольного треугольника ABC
находим, что
AB=AC\cos\alpha=4\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{5},~BC=AC\sin\alpha=4\cdot\frac{4}{5}=\frac{16}{5}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot\frac{12}{5}\cdot\frac{16}{5}=\frac{96}{25}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1995, билет 5, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 95-5-3, с. 350