5827. В равнобедренный треугольник ABC
(AB=BC
) вписана окружность с центром O
. Касательная к окружности пересекает стороны BC
и CA
в точках M
и N
соответственно. Найдите радиус окружности, если \angle MNC=2\angle NMC
, OM=\sqrt{10}
, ON=\frac{15}{4}
.
Ответ. 3.
Решение. Обозначим \angle NMC=\alpha
. Тогда \angle MNC=2\alpha
. Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается отрезка MN
в точке K
. Заметим, что MO
и NO
— биссектрисы углов BMN
и ANM
соответственно. Поэтому
\angle OMK=\frac{1}{2}\angle BMN=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
\angle ONK=\frac{1}{2}\angle ANM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\alpha)=90^{\circ}-\alpha.
Из прямоугольных треугольников OKM
и OKN
находим, что
r=OK=OM\sin\angle OMK=OM\sin\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{10}\cos\frac{\alpha}{2},
r=OK=ON\sin\angle ONK=ON\sin(180^{\circ}-\alpha)=\frac{15}{4}\cos\alpha.
Тогда \sqrt{10}\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{15}{4}\cos\alpha
, или \sqrt{10}\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{15}{4}\left(2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1\right)
. Из этого уравнения находим, что \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}
. Следовательно,
r=\sqrt{10}\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{10}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=3.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1995, билет 9, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 95-9-3, с. 353