5832. Даны треугольник ABC
и ромб BDEF
, все вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC
, а угол при вершине E
— тупой. Найдите площадь треугольника ABC
, если AE=3
, CE=7
, а радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1.
Ответ. 5\sqrt{5}
Решение. Заметим, что высота ромба вдвое больше радиуса вписанной в него окружности. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\gamma
. Пусть P
и Q
— проекции вершины E
на прямые AB
и BC
соответственно. Тогда
\sin\alpha=\sin\angle PAE=\frac{EP}{AE}=\frac{2}{3},~\sin\gamma=\sin\angle QCE=\frac{EQ}{CE}=\frac{2}{7},
\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3},~\cos\gamma=\sqrt{1-\left(\frac{2}{7}\right)^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{7},
\sin(\alpha+\gamma)=\sin\alpha\cos\gamma+\sin\gamma\cos\alpha=\frac{2}{3}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{7}+\frac{2}{7}\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{8\sqrt{5}}{21}.
По теореме синусов \frac{AB}{\sin\gamma}=\frac{AC}{\sin(\alpha+\gamma)}
, откуда
AB=\frac{AC\sin\gamma}{\sin(\alpha+\gamma)}=\frac{10\cdot\frac{2}{7}}{\frac{8\sqrt{5}}{21}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\alpha.
Примечание. Можно воспользоваться формулой площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам:
S_{\triangle ABC}=\frac{AC^{2}\sin\alpha\sin\gamma}{2\sin(\alpha+\gamma)}.