5835. Медиана AD
и высота CE
равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
) пересекаются в точке P
. Найдите площадь треугольника ABC
, если CP=5
, PE=2
.
Ответ. \frac{245}{8}
.
Решение. На продолжении медианы AD
за точку D
отложим отрезок DK
, равный AD
. Тогда четырёхугольник ABKC
— параллелограмм, так как его диагонали AK
и BC
делятся точкой пересечения D
пополам.
Пусть AB=BC=2x
. Тогда CK=AB=2x
. Треугольник APE
подобен треугольнику KPC
(по двум углам), поэтому
AE=CK\cdot\frac{PE}{PC}=\frac{2}{5}\cdot2x=\frac{4}{5}x,~BE=AB-AE=2x-\frac{4}{5}x=\frac{6}{5}x.
По теореме Пифагора BC^{2}=BE^{2}+CE^{2}
, или 4x^{2}=\frac{36}{25}x^{2}+49
, откуда находим, что x=\frac{35}{8}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CE=x\cdot7=\frac{35}{8}\cdot7=\frac{245}{8}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1994, билет 5, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 94-5-3, с. 340
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 2.14, с. 17