5837. Медиана AM
и высота CH
равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
) пересекаются в точке K
. Найдите площадь треугольника ABC
, если CK=5
, KH=1
.
Ответ. 30.
Решение. Отложим на продолжении медианы AM
за точку M
отрезок MD=AM
(рис. 1). Тогда четырёхугольник ABDC
— параллелограмм, поэтому CD\parallel AD
и CD=AB
. Треугольник AKH
подобен треугольнику DKC
с коэффициентом \frac{1}{5}
, поэтому AH=\frac{1}{5}CD=\frac{1}{5}AB
. Следовательно, \frac{AH}{BH}=\frac{1}{4}
.
Обозначим AB=BC=x
(рис. 2). Тогда AH=\frac{1}{5}x
, BH=\frac{4}{5}x
. По теореме Пифагора CH^{2}+BH^{2}=BC^{2}
, или 36+\frac{16}{25}x^{2}=x^{2}
. Отсюда находим, что x=10
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot10\cdot6=30.
