5837. Медиана AM
и высота CH
равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
) пересекаются в точке K
. Найдите площадь треугольника ABC
, если CK=5
, KH=1
.
Ответ. 30.
Решение. Отложим на продолжении медианы AM
за точку M
отрезок MD=AM
(рис. 1). Тогда четырёхугольник ABDC
— параллелограмм, поэтому CD\parallel AD
и CD=AB
. Треугольник AKH
подобен треугольнику DKC
с коэффициентом \frac{1}{5}
, поэтому AH=\frac{1}{5}CD=\frac{1}{5}AB
. Следовательно, \frac{AH}{BH}=\frac{1}{4}
.
Обозначим AB=BC=x
(рис. 2). Тогда AH=\frac{1}{5}x
, BH=\frac{4}{5}x
. По теореме Пифагора CH^{2}+BH^{2}=BC^{2}
, или 36+\frac{16}{25}x^{2}=x^{2}
. Отсюда находим, что x=10
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot10\cdot6=30.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1994, билет 7, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 94-7-3, с. 342
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2013. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2014. — № 2.23, с. 21
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2.23.1, с. 21