5839. В треугольнике ABC
угол C
равен \pi-\arcsin\frac{12}{13}
. На стороне AB
взята точка D
так, что AD=18
, BD=6
. Найдите радиус окружности, проходящей через вершину C
, касающейся стороны AB
в точке D
и касающейся окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. 3.
Решение. Данная в условии окружность касается описанной окружности треугольника ABC
и проходит через точку C
, поэтому окружности касаются в точке C
.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, R
— её радиус, Q
— центр указанной в условии второй окружности, r
— её радиус, M
— середина AB
. По теореме синусов
R=\frac{AB}{2\sin\angle ACB}=\frac{24}{2\sin\left(\pi-\arcsin\frac{12}{13}\right)}=\frac{24}{2\sin\left(\arcsin\frac{12}{13}\right)}=\frac{24}{2\cdot\frac{12}{13}}=13.
Из прямоугольного треугольника AMO
находим, что
OM=\sqrt{OA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5.
Пусть H
— проекция точки O
на прямую QD
. Тогда
OH=DM=AD-AM=18-12=6,~DH=OM=5,~QH=DQ+DH=r+5.
Поскольку линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания, OQ=OC-QC=R-r=13-r
. По теореме Пифагора OQ^{2}=OH^{2}+QH^{2}
, или (13-r)^{2}=36+(r+5)^{2}
. Отсюда находим, что r=3
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1994, билет 9, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 94-9-4, с. 343