5843. Высоты остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке O
. Окружность радиуса R
с центром в точке O
проходит через вершину B
, касается стороны AC
и пересекает сторону AB
в точке K
такой, что BK:AK=5:1
. Найдите длину стороны BC
.
Ответ. 3R
.
Решение. Пусть BH
— высота треугольника ABC
. Поскольку окружность с центром O
касается прямой AC
и OH\perp AC
, эта окружность касается AC
в точке H
и BH
— её диаметр. Точка K
лежит на окружности с диаметром BH
, поэтому \angle BKH=90^{\circ}
, значит, HK
— высота прямоугольного треугольника AHB
, проведённая из вершины прямого угла. Обозначим AK=t
. Тогда BK=5t
, AB=6t
и BH^{2}=AB\cdot BK
, или 4R^{2}=5t\cdot6t
, откуда находим, что t=\sqrt{\frac{2}{15}}R
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Из прямоугольного треугольника BAH
находим, что
\sin\alpha=\frac{BH}{AB}=\frac{2R}{6t}=\frac{R}{3t}=\frac{R}{3\sqrt{\frac{2}{15}}R}=\sqrt{\frac{5}{6}}.
Тогда
\cos\alpha=\sqrt{\frac{1}{6}},~\tg\alpha=\sqrt{5}.
Из прямоугольного треугольника CHO
находим, что
HC=OH\ctg(90^{\circ}-\alpha)=OH\tg\alpha=R\sqrt{5}.
Следовательно,
BC=\sqrt{BH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{4R^{2}+5R^{2}}=3R.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1993, билет 1, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 93-1-3, с. 328