5851. Продолжения медиан AM
и BK
треугольника ABC
пересекают описанную около него окружность в точках E
и F
соответственно, причём AE:AM=2:1
, BF:BK=3:2
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 90^{\circ}
, \arctg2
, 90^{\circ}-\arctg2
.
Решение. Диагонали BC
и AE
четырёхугольника ABEC
точкой пересечения M
делятся пополам, значит, этот четырёхугольник — параллелограмм, а так как он вписан в окружность, то это прямоугольник. Следовательно, \angle BAC=90^{\circ}
.
Пусть FK=t
, BK=2t
, AK=KC=x
. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд AK\cdot KC=BK\cdot KF
, или x^{2}=2t\cdot t=2t^{2}
, откуда x=t\sqrt{2}
.
Из прямоугольного треугольника ABK
находим, что
\sin\angle ABK=\frac{AK}{BK}=\frac{x}{2t}=\frac{t\sqrt{2}}{2t}=\frac{\sqrt{2}}{2},
поэтому \angle ABK=45^{\circ}
. Тогда AB=AC=x
. Следовательно,
\tg\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{2x}{x}=2.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1993, билет 9, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 93-9-4, с. 334