5863. В равнобедренный треугольник ABC
(AB=BC
) вписана окружность. Через точку M
, лежащую на стороне AB
, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую AC
в точке N
. Найдите боковую сторону треугольника ABC
, если AC=CN=a
, MB=\frac{1}{8}AB
.
Ответ. \frac{5}{7}a
.
Решение. Пусть окружность касается прямых AB
, AC
и MN
в точках P
, S
и T
соответственно. Обозначим AB=x
, \angle BAC=\alpha
. Тогда
AP=AS=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2},~BM=\frac{1}{8}x,~MT=MP=AB-AP-BM=x-\frac{1}{2}a-\frac{1}{8}x=\frac{7}{8}x-\frac{1}{2}a,
NT=NS=NC+CS=a+\frac{1}{2}a=\frac{3}{2}a,~MN=NT+MT=\frac{3}{2}a+\left(\frac{7}{8}x-\frac{1}{2}a\right)=a+\frac{7}{8}x,
\cos\alpha=\cos\angle BAC=\frac{AS}{AB}=\frac{a}{2x}.
По теореме косинусов
MN^{2}=AM^{2}+AN^{2}-2AM\cdot AN\cos\alpha,
или
\left(a+\frac{7}{8}x\right)^{2}=\left(\frac{7}{8}x\right)^{2}+4a^{2}-2\cdot\frac{7}{8}x\cdot2a\cdot\frac{a}{2x},~\frac{7}{4}x=3a-\frac{7}{4}a.
Отсюда находим, что x=\frac{5}{7}a
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1991, билет 1, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 91-1-4, с. 307