5864. В равнобедренный треугольник ABC
(AB=BC
) вписана окружность. Прямая, параллельная стороне AB
и касающаяся окружности, пересекает сторону AC
в точке M
такой, что MC=\frac{2}{5}AC
. Найдите радиус окружности, если периметр треугольника ABC
равен 20.
Ответ. \frac{4}{\sqrt{5}}
.
Решение. Пусть касательная к окружности, проходящая через точку M
, пересекает сторону BC
в точке N
, а окружность касается прямых MN
, AC
и BC
в точках K
, Q
и S
соответственно. Обозначим AC=x
, BC=AB=a
. По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки,
CS=CQ=\frac{1}{2}x,~MK=MQ,~NK=NS.
Пусть P_{1}
и P=20
— периметры подобных треугольников MNC
и ABC
. Тогда
P_{1}=CM+MN+CN=CM+(MK+NK)+CN=(CM+MK)+(NK+CN)=
=(CM+MQ)+(NS+CN)=CQ+QS=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=x,
\frac{P_{1}}{P}=\frac{CM}{AC}
, или \frac{x}{20}=\frac{2}{5}
. Отсюда находим, что x=8
. Тогда
a=\frac{1}{2}(P-x)=\frac{1}{2}(20-8)=6.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
. Центр O
этой окружности лежит на высоте BQ
треугольника ABC
, поэтому OQ=r
.
По теореме Пифагора
BQ=\sqrt{BC^{2}-CQ^{2}}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5},
а так как CO
— биссектриса треугольника BQC
, то
\frac{OQ}{OB}=\frac{CQ}{BC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Следовательно,
r=\frac{2}{5}BQ=\frac{2}{5}\cdot2\sqrt{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}=\frac{4}{\sqrt{5}}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1991, билет 2, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 91-2-4, с. 308