5867. Отрезок AD
является биссектрисой прямоугольного треугольника ABC
(\angle C=90^{\circ})
. Окружность радиуса \sqrt{15}
проходит через точки A
, C
, D
и пересекает сторону AB
в точке E
так, что AE:AB=3:5
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 32.
Решение. Окружность проходит через точки A
, D
и C
, причём хорда AD
видна из точки C
под прямым углом, значит, AD
— диаметр окружности. Поэтому \angle AED=90^{\circ}
. Пусть AE=3x
, BE=2x
. Из равенства прямоугольных треугольников ACD
и AED
(по гипотенузе и острому углу) следует, что AC=AE=3x
. По теореме Пифагора
BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{25x^{2}-9x^{2}}=4x.
По свойству биссектрисы треугольника \frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}
, поэтому
CD=\frac{3}{8}BC=\frac{3}{8}\cdot4x=\frac{3}{2}x.
По теореме Пифагора AD^{2}=AC^{2}+CD^{2}
, или 4\cdot15=9x^{2}+\frac{9}{4}x^{2}
, откуда находим, что x^{2}=\frac{16}{3}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot4x\cdot3x=6x^{2}=6\cdot\frac{16}{3}=32.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1991, билет 5, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 91-5-3, с. 310