5868. Отрезок BD
является медианой равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
). Окружность радиуса 4 проходит через точки B
, A
, D
и пересекает сторону BC
в точке E
так, что BE:BC=7:8
. Найдите периметр треугольника ABC
.
Ответ. 20.
Решение. Пусть CE=x
. Тогда BC=8x
и BE=7x
, а так как 8x=BC=AB=8
, то x=1
, BE=7
.
Точка E
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle AEB=90^{\circ}
. Из прямоугольных треугольников ABE
и ACE
находим, что
AE^{2}=AB^{2}-BE^{2}=64-49=15,~AC=\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{15+1}=4.
Следовательно, периметр треугольника ABC
равен 8+8+4=20
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1991, билет 6, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 91-6-3, с. 310