5871. На диагонали BD
прямоугольной трапеции ABCD
(\angle D=90^{\circ}
, BC\parallel AD
) взята точка Q
так, что BQ:QD=1:3
. Окружность с центром в точке Q
касается прямой AD
и пересекает прямую BC
в точках P
и M
. Найдите длину стороны AB
, если BC=9
, AD=8
, PM=4
.
Ответ. 3.
Решение. Пусть E
— точка касания окружности с прямой AD
, а F
— проекция центра Q
окружности на прямую BC
. Тогда точки E
, Q
и F
лежат на одной прямой, а F
— середина PM
. Тогда FP=FM=2
.
Обозначим QE=QP=QM=R
. Предположим, что точка P
лежит между C
и M
. Из подобия треугольников QFB
и QED
находим, что QF=\frac{QB}{QD}\cdot QE=\frac{1}{3}R
. По теореме Пифагора QP^{2}=QF^{2}+FP^{2}
, или R^{2}=\frac{1}{9}R^{2}+4
, откуда находим, что R=\frac{3}{\sqrt{2}}
. Тогда
EF=QE+QF=R+\frac{1}{3}R=\frac{4}{3}R=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.
Пусть H
— проекция точки A
на прямую BC
. Тогда
BH=BC-CH=BC-AD=9-8=1,~AH=EF=2\sqrt{2}.
Из прямоугольного треугольника ABH
находим, что
AB=\sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+1}=3.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1991, билет 9, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 91-9-4, с. 313