5872. Точки M
и N
являются серединами боковых сторон AC
и CB
равнобедренного треугольника ABC
. Точка L
расположена на медиане BM
так, что BL:BM=4:9
. Окружность с центром в точке L
касается прямой MN
и пересекает прямую AB
в точках Q
и T
. Найдите периметр треугольника MNC
, если QT=2
, AB=8
.
Ответ. 2(2+\sqrt{13})
.
Решение. Пусть P
— точка касания окружности с прямой MN
, а F
— проекция центра L
окружности на прямую AB
. Тогда точки P
, L
и F
лежат на одной прямой, а F
— середина QT
. Тогда FQ=FT=1
.
По теореме о средней линии треугольника MN=\frac{1}{2}AB=4
и MN\parallel AB
. Обозначим LP=LQ=LT=R
. Предположим, что точка Q
лежит между A
и T
. Из подобия треугольников LFB
и LPM
находим, что LF=\frac{LB}{LM}\cdot LP=\frac{4}{5}R
. По теореме Пифагора LQ^{2}=LF^{2}+FQ^{2}
, или R^{2}=\frac{16}{25}R^{2}+1
, откуда находим, что R=\frac{5}{3}
. Тогда
PF=LP+LF=R+\frac{4}{5}R=\frac{9}{5}R=\frac{9}{5}\cdot\frac{5}{3}=3.
Пусть H
— проекция точки M
на прямую AB
. Тогда
AH=\frac{1}{2}(AB-MN)=\frac{1}{2}(8-4)=2,~MH=PF=3.
Из прямоугольного треугольника AMH
находим, что
AM=\sqrt{AH^{2}+MH^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
Тогда CN=CM=AM=\sqrt{13}
. Следовательно, периметр треугольника MNC
равен \sqrt{13}+\sqrt{13}+4=2(2+\sqrt{13})
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1991, билет 10, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 91-10-4, с. 314