5875. Окружность \omega
с центром в точке O
на стороне AC
треугольника ABC
касается сторон AB
и BC
в точках D
и E
соответственно. Известно, что AD=2CE
, а угол DOE
равен \arcctg\frac{1}{3}
. Найдите углы треугольника ABC
и отношение его площади к площади круга, ограниченного окружностью \omega
.
Ответ. \angle ABC=\pi-\arcctg\frac{1}{3}
, \angle ACB=\frac{\pi}{4}
, \angle BAC=\arcctg2
, \frac{2\sqrt{10}+7}{6\pi}
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\gamma
, OD=OE=R
, CE=x
, BD=BE=y
. Тогда AD=2x
,
\beta=\angle ABC=\pi-\angle DOE=\pi-\arcctg\frac{1}{3},
\tg\beta=\tg\left(\pi-\arcctg\frac{1}{3}\right)=-\tg\left(\arcctg\frac{1}{3}\right)=-\tg\arctg3=-3.
\sin\beta=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^{2}\beta}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.
Из прямоугольных треугольников AOD
и COE
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle DAO=\frac{OD}{AD}=\frac{R}{2x},~\tg\gamma=\tg\angle ECO=\frac{OE}{CE}=\frac{R}{x}.
Тогда
\tg(\alpha+\gamma)=\frac{\tg\alpha+\tg\gamma}{1-\tg\alpha\tg\gamma}=\frac{\frac{R}{2x}+\frac{R}{x}}{1-\frac{R}{2x}\cdot\frac{R}{x}}=\frac{3Rx}{2x^{2}-R^{2}}.
Тогда
-3=\tg\beta=\tg(\pi-\alpha-\gamma)=-\tg(\alpha+\gamma)=-\frac{3Rx}{2x^{2}-R^{2}},
или R^{2}+Rx-2x^{2}=0
, откуда R=x
. Значит,
\tg\gamma=\frac{R}{x}=1,~\gamma=\frac{\pi}{4},~\tg\alpha=\frac{R}{2x}=\frac{1}{2},~\alpha=\arctg\frac{1}{2}=\arcctg2.
Применяя формулу \tg\beta=\frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{b}{2}}
, получим уравнение \frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}}=-3
, из которого находим, что \tg\frac{\beta}{2}=\frac{1+\sqrt{10}}{3}
.
Из прямоугольного треугольника BOE
находим, что
y=BE=OE\ctg\angle OBE=R\ctg\frac{\beta}{2}=\frac{R}{\tg\frac{\beta}{2}}=\frac{3x}{1+\sqrt{10}}=\frac{x(\sqrt{10}-1)}{3}.
Тогда
BC=BE+EC=y+x=\frac{x(\sqrt{10}-1)}{3}+x=\frac{x(2+\sqrt{10})}{3},
AB=BD+AD=y+2x=\frac{x(\sqrt{10}-1)}{3}+2x=\frac{x(5+\sqrt{10})}{3},
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\beta=\frac{1}{2}\cdot\frac{x(2+\sqrt{10})}{3}\cdot\frac{x(5+\sqrt{10})}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{x^{2}(2\sqrt{10}+7)}{6},
а так как площадь круга радиуса R=x
равна \pi x^{2}
, то отношение площади треугольника ABC
к площади круга равно \frac{2\sqrt{10}+7}{6\pi}
.