5879. Окружность касается стороны AD
четырёхугольника ABCD
в точке D
, а стороны BC
— в её середине M
. Диагональ AC
пересекает окружность в точках K
и L
, (AK\lt AL
). Известно, что AK=5
, KL=4
, LC=1
. Лучи AD
и BC
пересекаются в точке S
, причём \angle ASB=120^{\circ}
. Найдите радиус окружности и площадь четырёхугольника ABCD
.
Ответ. R=4\sqrt{5}-\sqrt{15}
, S_{ABCD}=\frac{50-5\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, R
— её радиус. Поскольку окружность вписана в угол ASB
, её центр лежит на биссектрисе этого угла, поэтому \angle OSD=60^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника ODS
находим, что SD=OD\ctg60^{\circ}=\frac{R}{\sqrt{3}}
.
По теореме о касательной и секущей
AD=\sqrt{AK\cdot AL}=\sqrt{5\cdot9}=3\sqrt{5},~CM=\sqrt{CK\cdot CL}=\sqrt{5\cdot1}=\sqrt{5}.
Тогда
SM=SD=\frac{R}{\sqrt{3}},~SC=SM-CM=\frac{R}{\sqrt{3}}-\sqrt{5},~SA=SD+AD=\frac{R}{\sqrt{3}}+3\sqrt{5}.
По теореме косинусов AC^{2}=SA^{2}+SC^{2}-2SA\cdot SC\cos120^{\circ}
, или
100=\left(\frac{R}{\sqrt{3}}+3\sqrt{5}\right)^{2}+\left(\frac{R}{\sqrt{3}}-\sqrt{5}\right)^{2}+\left(\frac{R}{\sqrt{3}}+3\sqrt{5}\right)\left(\frac{R}{\sqrt{3}}-\sqrt{5}\right).
Из этого уравнения находим, что R=4\sqrt{5}-\sqrt{15}
.
Тогда
SA=AD+SD=3\sqrt{5}+\frac{R}{\sqrt{3}}=3\sqrt{5}+\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{15}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{15}+4\sqrt{5}}{\sqrt{3}},
SB=SM+MB=\frac{R}{\sqrt{3}}+\sqrt{5}=\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{15}}{\sqrt{3}}+\sqrt{5}=\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{3}},
S_{\triangle ASB}=\frac{1}{2}SA\cdot SB\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\sqrt{15}+4\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}+20}{\sqrt{3}},
SD=\frac{R}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{15}}{\sqrt{3}},~SC=\frac{R}{\sqrt{3}}-\sqrt{5}=\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{15}}{\sqrt{3}}-\sqrt{5}=\frac{4\sqrt{5}-2\sqrt{15}}{\sqrt{3}},
S_{\triangle DSC}=\frac{1}{2}SD\cdot SC\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{15}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{4\sqrt{5}-2\sqrt{15}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{55-30\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ASB}-S_{\triangle DSC}=\frac{10\sqrt{3}+20}{\sqrt{3}}-\frac{55-30\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{50\sqrt{3}-15}{2\sqrt{3}}=\frac{50-5\sqrt{3}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2007, № 4, билет 9