5881. В равнобедренный треугольник ABC
вписана полуокружность, центр O
которой лежит на основании AB
. Произвольная касательная к полуокружности пересекает стороны BC
и AC
в точках M
и N
соответственно. Докажите, что отрезки OM
и ON
разбивают четырёхугольник ANMB
на три подобных треугольника.
Решение. Обозначим через \alpha
, \beta
и \gamma
углы треугольника MCN
при вершинах C
, N
и M
соответственно. Центр O
полуокружности — точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах M
и N
треугольника MCN
, поэтому
\angle ANO=\frac{180^{\circ}-\beta}{2}=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},~\angle BMO=\frac{180^{\circ}-\gamma}{2}=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2},~
а \angle MON=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770). Кроме того, из равнобедренности треугольника ABC
получаем, что
\angle OAN=\angle BOM=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Следовательно, треугольники NOM
, NAO
и OBM
подобны.