5882. В треугольнике ABC
с тупым углом B
проведены биссектриса угла BAC
и биссектриса внешнего угла при вершине A
. Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Расстояние от O
до обеих биссектрис, а также до прямой BC
равны 3. Найдите \angle ABC
.
Ответ. 112{,}5^{\circ}
.
Решение. Пусть E
и F
— основания перпендикуляров, опущенных из точки O
на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине A
треугольника ABC
, D
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на сторону BC
.
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому \angle EAF=90^{\circ}
, а так как три угла четырёхугольника AEOF
прямые и OF=OE
, то этот четырёхугольник — квадрат. Значит, OA=3\sqrt{2}
и \angle OAE=45^{\circ}
.
В прямоугольном треугольнике BOD
катет OD
равен 3, а гипотенуза OB=OA=3\sqrt{2}
, значит, \angle OBD=45^{\circ}
. Аналогично \angle OCD=45^{\circ}
. Тогда \angle BOC=90^{\circ}
, а так как вписанный угол BAC
равен половине центрального угла BOC
, то
\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC=45^{\circ},~\angle CAE=\frac{1}{2}\angle BAC=22{,}5^{\circ},
\angle OCA=\angle OAC=\angle OAE-\angle CAE=45^{\circ}-22{,}5^{\circ}=22{,}5^{\circ}.
В равнобедренном треугольнике AOC
угол при вершине O
равен 180^{\circ}-2\cdot22{,}5^{\circ}=135^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=\frac{1}{2}(360^{\circ}-\angle AOC)=\frac{1}{2}(360^{\circ}-135^{\circ})=112{,}5^{\circ}.
Примечание. Точка E
лежит на отрезке OB
, но в приведённом решении это не используется.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2013, первый тур, 9 класс