5884. Точки P
и Q
расположены внутри равностороннего треугольника ABC
, причём четырёхугольник APQC
выпуклый, AP=PQ=QC
и \angle PBQ=30^{\circ}
. Докажите, что AQ=BP
.
Указание. Рассмотрите поворот вокруг точки B
на угол 60^{\circ}
(или симметрию относительно прямой BQ
).
Решение. Первый способ. При повороте вокруг точки B
на угол 60^{\circ}
точка A
переходит точку C
, точка P
— в некоторую точку L
, а треугольник APB
— в равный ему треугольник CLB
. Тогда
\angle PBL=60^{\circ},~\angle QBL=\angle PBL-\angle PBQ=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ},
значит, BQ
— биссектриса угла PBL
при вершине B
равностороннего треугольника PBL
. Следовательно, BQ
— серединный перпендикуляр к отрезку PL
, поэтому QL=QP=AP=CL=CQ
, значит, треугольник CQL
равносторонний. Тогда
\angle QCL=60^{\circ},~\angle ACQ=\angle ACB-\angle BCQ=
=60^{\circ}-\angle BCQ=\angle QCL-\angle BCQ=\angle BCL=\angle BAP,
и треугольники ACQ
и ABP
равны по двум сторонам и углу между ними (CQ=AP
, AC=AB
, \angle ACQ=\angle BAP
). Следовательно, AQ=BP
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть T
— точка, симметричная вершине C
относительно прямой BQ
. Тогда BT=BC=AB
. Обозначим \angle TBQ=\angle CBQ=\alpha
. Тогда
\angle ABP=\angle ABC-\angle PBQ-\angle CBQ=60^{\circ}-30^{\circ}-\alpha=
=30^{\circ}-\alpha=\angle PBQ-\angle TBQ=\angle TBP,
значит, BP
— биссектриса равнобедренного треугольника ABT
, а прямая BP
— серединный перпендикуляр к отрезку AT
. Поэтому
PT=PA=PQ=CQ=TQ,
т. е. треугольник PTQ
равносторонний. Тогда
\angle PTB=\angle PTQ-\angle BTQ=60^{\circ}-\angle BTQ=\angle ACB-\angle BCQ=\angle ACQ,
значит, треугольники BPT
и AQC
равны по двум сторонам и углу между ними (BT=AB=AC
, PT=PQ=CQ
и \angle PTB=\angle QCA
). Следовательно, BP=AQ
. Что и требовалось доказать.