5886. Биссектриса угла B
треугольника ABC
пересекает прямую, проходящую через A
параллельно BC
, в точке X
; она же пересекает прямую, проходящую через C
параллельно AB
, в точке Y
. Известно, что XY=AC
. На сколько могут отличаться углы BAC
и ACB
?
Ответ. На 60^{\circ}
.
Указание. На продолжении стороны AB
за точку A
отложите отрезок AA_{1}
, равный BC
, и докажите, что треугольник XYA_{1}
равносторонний.
Решение. Обозначим
\angle BAC=\alpha,~\angle ABC=\beta,~\angle ACB=\gamma,~BC=a,~AC=b,~AB=c.
Тогда
\angle AXB=\angle CBX=\angle ABX=\frac{\beta}{2},~AX=AB=c,
\angle BYC=\angle ABY=\angle CBY=\frac{\beta}{2},~CY=BC=a.
На продолжении стороны AB
за точку A
отложим отрезок AA_{1}=BC=a
. Тогда треугольник XAA_{1}
равен треугольнику ABC
по двум сторонам и углу между ними (\angle XAA_{1}=\angle ABC
), значит, XA_{1}=AC=b
и \angle AA_{1}X=\angle ACB=\gamma
.
Противоположные стороны CY
и AA_{1}
четырёхугольника ACYA_{1}
равны и параллельны, значит, это параллелограмм, поэтому A_{1}Y=AC=b
и \angle AA_{1}Y=\angle BAC=\alpha
, а так как по условию XY=AC=b
, то треугольник XYA_{1}
равносторонний, \angle XA_{1}Y=60^{\circ}
.
Следовательно,
\angle BAC-\angle ACB=\alpha-\gamma=\angle AA_{1}Y-\angle AA_{1}X=\angle XA_{1}Y=60^{\circ}.