5888. Будем называть четырёхугольник равнодиагональным, если у него равны диагонали. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника ABCD
, делит его на два равнодиагональных четырёхугольника. Докажите, что четырёхугольник ABCD
сам равнодиагональный.
Указание. Пусть K
и M
— середины сторон соответственно AB
и CD
четырёхугольника ABCD
. Треугольники CKD
и BMA
равны по признаку равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей (см. задачу 1028).
Решение. Пусть K
и M
— середины сторон соответственно AB
и CD
четырёхугольника ABCD
. Из признака равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей (см. задачу 1028), следует равенство треугольников CKD
и BMA
, поэтому CD=AB
, а значит, CM=BK
. Треугольники KBC
и MCB
равны по трём сторонам, поэтому \angle BKC=\angle BMC
. Тогда
\angle AKC=180^{\circ}-\angle BKC=180^{\circ}-\angle BMC=\angle BMD.
Тогда треугольники AKC
и DMB
равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, AC=BD
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Можно доказать, что ABCD
— равнобедренная трапеция.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2013, второй тур, 10 класс