5889. Противоположные стороны AD
и BC
четырёхугольника ABCD
параллельны. Через вершины B
и D
проведены параллельные прямые, пересекающие диагональ AC
в точках M
и N
соответственно. Оказалось, что точки M
и N
разбивают эту диагональ на три равных отрезка.
а) Докажите, что ABCD
— параллелограмм.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника BMDN
к площади параллелограмма ABCD
.
Ответ. 1:3
.
Решение. а) Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть прямые BM
и AD
пересекаются в точке K
, а прямые DN
и BC
— в точке L
. Тогда
AN=\frac{2}{3}AC=MC,~\angle DAN=\angle BCM,~\angle BMC=\angle DNA.
Значит, треугольники AND
и CMB
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда AD=BC
, а так как AD\parallel BC
, то ABCD
— параллелограмм.
б) Пусть площадь параллелограмма ABCD
равна S
. Отрезок BM
— медиана треугольника ABN
, поэтому треугольник BMN
равновелик треугольнику ABM
, площадь которого равна
\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{1}{6}S.
Аналогично, площадь треугольника DMN
тоже равна \frac{1}{6}S
. Следовательно, площадь четырёхугольника (параллелограмма) BMDN
равна \frac{1}{3}S
, а искомое отношение равно \frac{1}{3}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1, с. 175