5890. Пятиугольник ABCDE
вписан в окружность. Из вершины A
опущены перпендикуляры AF
, AH
, AP
и AQ
на прямые DE
, BE
, CD
и BC
соответственно.
а) Докажите, что \angle FAH=\angle PAQ
.
б) Найдите AH
, если AF=a
, AP=b
и AQ=c
.
Ответ. \frac{ac}{b}
.
Решение. а) Обозначим \angle FAH=\alpha
. В четырёхугольнике AFEH
углы AFE
и AHE
равны по 90^{\circ}
, а сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника BCDE
равна 180^{\circ}
, значит,
\angle PCQ=\angle BCD=180^{\circ}-\angle BED=\angle FEH=180^{\circ}-\alpha.
В четырёхугольнике AQCP
углы APC
и AQC
также равны по 90^{\circ}
, значит,
\angle PAQ=180^{\circ}-\angle PCQ=180^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)=\alpha.
Следовательно, \angle FAH=\angle PAQ
.
б) Обозначим \angle AFH=\beta
. Из точек F
и H
отрезок AE
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AE
. Вписанные в эту окружность углы AEH
и AFH
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle AEH=\angle AFH=\beta
. Также равны вписанные в исходную окружность углы ACB
и AEB
, поэтому
\angle ACQ=\angle ACB=\angle AEB=\angle AEH=\angle AFH=\beta.
Из точек P
и Q
отрезок AC
также виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Вписанные в эту окружность углы APQ
и ACQ
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle APQ=\angle ACQ=\beta
. Следовательно, \angle APQ=\angle AFH
.
Треугольники APQ
и AFH
подобны по двум углам, поэтому \frac{AH}{AQ}=\frac{AF}{AP}
, следовательно,
AH=\frac{AF\cdot AQ}{AP}=\frac{ac}{b}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6, с. 175