5895. Окружность с центром O
, вписанная в треугольник ABC
, касается его сторон AB
, AC
и BC
в точках C_{1}
, B_{1}
и A_{1}
соответственно. Биссектриса угла A
пересекает эту окружность в точке Q
, лежащей внутри треугольника AB_{1}C_{1}
.
а) Докажите, что C_{1}Q
— биссектриса угла AC_{1}B_{1}
.
б) Найдите расстояние от точки O
до центра окружности, вписанной в треугольник AB_{1}C_{1}
, если известно, что BC=15
, AB=13
, AC=14
.
Ответ. 4
.
Решение. а) Поскольку AC_{1}=AB_{1}
, треугольник AB_{1}C_{1}
равнобедренный, биссектриса его угла A
перпендикулярна основанию B_{1}C_{1}
и делит его пополам, значит, высота треугольника B_{1}QC_{1}
, проведённая из вершины Q
, является его медианой. Значит, треугольник B_{1}QC_{1}
равнобедренный, \angle QB_{1}C_{1}=\angle QC_{1}B_{1}
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle AC_{1}Q=\angle QB_{1}C_{1}=\angle QC_{1}B_{1}.
Следовательно, C_{1}Q
— биссектриса угла AC_{1}B_{1}
.
б) Поскольку Q
— точка пересечения биссектрис треугольника AB_{1}C_{1}
, эта точка — центр окружности, вписанной в треугольник AB_{1}C_{1}
. Значит, искомое расстояние — это длина отрезка OQ
, т. е. радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Пусть этот радиус равен r
, а полупериметр треугольника ABC
равен p
. Тогда
p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{13+14+15}{2}=21,~
S_{\triangle ABC}=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84.
Следовательно,
OQ=r=\frac{S_{\triangle ABC}}{p}=\frac{84}{21}=4.