5898. В прямоугольнике ABCD
точка M
— середина стороны CD
. Через точку C
провели прямую, перпендикулярную прямой BM
, а через точку M
— прямую, перпендикулярную диагонали BD
. Докажите, что два проведённых перпендикуляра пересекаются на прямой AD
.
Указание. Пусть прямая, проходящая через точку M
перпендикулярно BD
, пересекает прямую BC
в точке F
. Докажите, что M
— точка пересечения высот треугольника BDF
.
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку M
перпендикулярно диагонали BD
, пересекает прямую AD
в точке E
, а прямую BC
— в точке F
. Прямоугольные треугольники MDE
и MCF
равны по катету (MD=MC
) и прилежащему острому углу, поэтому CF\parallel ED
. Значит, CF=DE
, а так как CF\parallel DE
, то четырёхугольник CFDE
— параллелограмм, поэтому DF\parallel CE
.
Прямая BM
перпендикулярна прямой DF
, так как она перпендикулярна прямой CE
, параллельной DF
. Высоты треугольника BDF
, проведённые из вершин D
и B
, пересекаются в точке M
, значит, высота, проведённая из вершины C
, также проходит через точку M
(см. задачу 1256). Следовательно, точка E
, лежащая на прямой AD
, есть точка пересечения прямой CE
, перпендикулярной BM
, и прямой FE
, перпендикулярной BD
. Что и требовалось доказать.
Автор: Гаркавый А. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2014, LXXVII, 8 класс