5900. Точка A
расположена вне квадрата KLMN
с центром O
, причём треугольник KAN
прямоугольный (\angle A=90^{\circ}
) и AK=2AN
. Точка B
— середина стороны KN
.
а) Докажите, что BM\parallel AN
.
б) Прямая AO
пересекает сторону ML
квадрата в точке P
. Найдите отношение LP:PM
.
Ответ. 1:2
.
Решение. а) Поскольку MN=KN=2BN
, прямоугольные треугольники BMN
и NKA
подобны по двум катетам. Значит, \angle MBN=\angle ANK
. Следовательно, BM\parallel AN
.
б) Диагонали квадрата перпендикулярны, равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому \angle KON=90^{\circ}
и OK=ON
. Из точек A
и O
отрезок KN
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KN
. Вписанные в эту окружности углы KAO
и NAO
опираются на равные хорды, поэтому AO
— биссектриса угла KAN
.
Пусть отрезок AP
пересекает сторону KN
в точке Q
. Тогда AQ
— биссектриса треугольника KAN
. По свойству биссектрисы
\frac{NQ}{QK}=\frac{AN}{AK}=\frac{1}{2}.
Треугольник LOP
равен треугольнику NOQ
по стороне и двум прилежащим к ней углам, значит, LP=NQ
. Тогда MP=KQ
. Следовательно,
\frac{LP}{PM}=\frac{NQ}{QK}=\frac{1}{2}.