5901. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол при основании трапеции равен 120^{\circ}
.
а) Докажите, что одно из оснований трапеции вдвое больше другого.
б) Найдите стороны трапеции, если её диагональ равна 2\sqrt{3}
.
Ответ. 2, 2, 2, 4.
Решение. а) Пусть диагональ AC
равнобедренной трапеции ABCD
перпендикулярна боковой стороне CD
, а \angle BCD=120^{\circ}
. Тогда
\angle ACB=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ},~\angle CAD=\angle ACB=30^{\circ}.
Треугольник ABC
равнобедренный, значит, CD=AB=BC
. В прямоугольном треугольнике ACD
катет CD
, лежащий против угла 30^{\circ}
, равен половине гипотенузы. Следовательно,
AD=2CD=2BC.
б) Из прямоугольного треугольника ACD
находим, что
CD=AC\tg30^{\circ}=2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=2,~AD=2CD=4.
Следовательно,
AB=BC=CD=2,~AD=4.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.27.2, с. 12