5904. Диагонали параллелограмм ABCD
пересекаются в точке O
.
а) Докажите, что прямая, проходящая через вершину B
и середину отрезка OC
, делит сторону CD
на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Пусть ABCD
— ромб с диагоналями BD=18
, AC=48
. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри ромба.
Ответ. 20.
Решение. а) Пусть M
— середина OC
, N
— точка пересечения прямой BM
со стороной CD
. Из подобия треугольников CMN
и AMB
получаем, что
\frac{CN}{AB}=\frac{CM}{AM}=\frac{1}{3},
поэтому
CN=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}CD.
Следовательно, DN=2CN
.
б) Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому треугольник BOC
прямоугольный с катетами OB=9
и OC=24
. По теореме Пифагора
BC=\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=\sqrt{9^{2}+24^{2}}=3\sqrt{73},
поэтому
CN=\frac{1}{3}CD=\frac{1}{3}BC=\sqrt{73}.
Обозначим \angle BCD=\alpha
. Из треугольника BCD
по теореме косинусов находим, что
\cos\alpha=\frac{BC^{2}+CD^{2}-BD^{2}}{2BC\cdot CD}=\frac{9\cdot73+9\cdot73-18^{2}}{2\cdot3\sqrt{73}\cdot\sqrt{73}}=\frac{55}{73}.
Следовательно,
BN=\sqrt{BC^{2}+CN^{2}-2BC\cdot CN\cos\alpha}=\sqrt{9\cdot73+73-2\cdot3\sqrt{73}\cdot\sqrt{73}\cdot\frac{55}{73}}=
=\sqrt{10\cdot73-6\cdot55}=\sqrt{400}=20.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 3.28.2, с. 30