5908. Окружность с центром O
вписана в равнобедренную трапецию ABCD
с боковой стороной AB
. Прямые AO
и BC
пересекаются в точке E
.
а) Докажите, что O
— середина AE
.
б) Найдите радиус окружности, если известно, что AB=30
, BO=3\sqrt{10}
.
Ответ. 9.
Решение. а) Поскольку \angle BEA=\angle DAE=\angle BAE
, треугольник ABE
равнобедренный, BE=AB
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, BO
— биссектриса треугольника ABE
, а так как треугольник равнобедренный, то BO
— его медиана. Следовательно, O
— середина AE
.
б) Биссектриса BO
равнобедренного треугольника ABE
является его высотой, значит, треугольник AOB
прямоугольный с прямым углом при вершине O
. Пусть P
— точка касания окружности с боковой стороной AB
. Радиус OP
— высота этого треугольника, проведённая из вершины прямого угла.
По теореме Пифагора
OA=\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{900-810}=9\sqrt{10}.
Выразив площадь треугольника двумя способами, получим равенство \frac{1}{2}AB\cdot OP=\frac{1}{2}OA\cdot OB
. Следовательно,
OP=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{9\sqrt{10}\cdot3\sqrt{10}}{30}=9.