5910. На основаниях KN
и LM
трапеции KLMN
отмечены точки A
и B
соответственно, а на боковых сторонах KL
и MN
— точки C
и D
соответственно. При этом KA:AN=KC:CL=LB:BM=ND:DM=1:3
.
а) Докажите, что четырёхугольник ACBD
— трапеция.
б) Известно, что KN=2LM
. В каком отношении диагональ LN
трапеции KLMN
делит боковые стороны трапеции ACBD
?
Ответ. 1:6
.
Решение. а) Поскольку \frac{KA}{KN}=\frac{KC}{CL}=\frac{1}{3}
, прямые AC
и LN
параллельны, треугольник AKC
подобен треугольнику NKL
с коэффициентом \frac{1}{4}
. Значит, AC=\frac{1}{4}LN
. Аналогично BD\parallel LN
и BD=\frac{3}{4}LN
. Поэтому AC\parallel BD
и AC\ne BD
. Следовательно, четырёхугольник ACBD
— трапеция.
б) Обозначим LB=a
. Тогда
LM=4a,~KN=2LM=8a.
Пусть диагональ LN
пересекает боковые стороны BC
и AD
трапеции ACBD
в точках P
и Q
соответственно, а отрезок CD
— в точке H
. Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что так как \frac{KC}{CL}=\frac{ND}{DM}
, то CD\parallel LM
. Треугольник LCH
подобен треугольнику LKN
с коэффициентом \frac{LC}{LK}=\frac{3}{4}
. Значит,
CH=\frac{3}{4}KN=\frac{3}{4}\cdot8a=6a.
Треугольник BPL
подобен треугольнику CPH
с коэффициентом
\frac{BL}{CH}=\frac{a}{6a}=\frac{1}{6}.
Следовательно,
\frac{DQ}{QA}=\frac{BP}{PC}=\frac{BL}{CH}=\frac{1}{6}.