5916. На стороне AB
треугольника ABC
как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок AC
в точке P
. При этом \angle ABP=\angle ACB
.
а) Докажите, что прямая BP
разбивает треугольник ABC
на два подобных треугольника.
б) Найдите отношение площадей этих подобных треугольников, если известно, что \tg\angle BAC=2
.
Ответ. 1:4
.
Решение. а) Точка P
лежит на окружности с диаметром AB
, значит, \angle APB=90^{\circ}
. Тогда \angle BPC=90^{\circ}
, а так как \angle ABP=\angle ACB
, то треугольники APB
и BPC
подобны по двум углам.
б) Коэффициент подобия треугольников APB
и BPC
равен отношению соответствующих сторон, т. е.
k=\frac{AP}{BP}=\ctg\angle BAP=\ctg\angle BAC=\frac{1}{2}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle APB}}{S_{\triangle BPC}}=k^{2}=\frac{1}{4}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 7.35.2, с. 71